Travail sans contrat

Bonjour,

Je suis employée en tant que bibliothécaire par une université française.

Mon directeur m'a proposé par mail un poste en CDD pour 6 mois et j'ai commencé le 03/01/23 mais, lorsqu'on m'a convoquée pour signer mon contrat, celui-ci ne correspondait pas au poste que j'occupe (un poste de C au lieu d'un poste de B, avec des missions bien distinctes).

Je n'ai pas signé et j'ai demandé à ce que le contrat soit refait, à l'oral, au service de RH et à mon directeur. Je n'ai pas de nouvelle depuis.

Pourriez-vous me conseiller sur la marche à suivre pour obtenir mon contrat et/ou sur ce que je peux obtenir en compensation en cas de refus de mon employeur ?

Merci d'avance,