Démission pour un CDI mais l'entreprise ne répond plus

Actuellement en CDD, j'ai passé un entretien pour un CDI. L'entreprise était très enthousiaste, et m'a envoyé un contrat que j'ai signé. Nous nous sommes mis d'accord sur l'ensemble des conditions d'arrivée dans l'entreprise (dans moins d'une semaine), j'ai donc démissionné de mon CDD. Sauf qu'à date d'aujourd'hui (soit 29j après qu'on m'a confirmé un emploi dans cette entreprise), je n'arrive pas à obtenir le contrat signé de la part de l'entreprise: chaque demande de ma part conduit à des réponses toujours très enthousiastes ("nous vous attendons") mais de plus en plus espacées dans le temps et sans jamais recevoir la signature.
Puis-je mettre en place une démarche dans le cas où l'entreprise cesse les contacts avec moi ? En effet, j'ai démissionné de mon CDD et je vais donc me retrouver possiblement sans travail et sans indemnités chômage alors que j'ai un contrat signé de ma part et de nombreux mails de leur part.